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cours mathématiques , Fonctions continues et limites de fonctions en pdf
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cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions

 

Dans cette section nous étudions des fonctions définies sur des parties de R et à valeurs réelles. On rappelle que l’ensemble sur lequel une fonction f est définie est appelé son domaine et est noté Dom(f). La plupart du temps les fonctions avec lesquelles nous aurons à faire seront définies sur des intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts ou des réunions d’intervalles de ce type. Par exemple la fonction Les propriétés 1°) et 2°) du théorème précédent montrent que l’ensemble des fonctions cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions en pdf | COurs mathématique | COurs sience
définies et continues sur D ⊂ R, noté C(D), est un espace vectoriel réel, c’est à dire que
les combinaisons linéaires réelles de fonctions continues sur D sont encore des fonctions
continues : Preuve. On sait que, par définition, f ◦ g(x) = f(g(x)) pour tout x de D. Utilisons la
caractérisation de la continuité du Théorème 4.1. Soit c un point de D et considérons une
suite (xn) d’éléments de D convergeant vers c. Par continuité de g la suite (g(xn)) converge
vers g(c). Par définition de D, les valeurs g(xn) et g(c) appartiennent à Dom(f) et par
continuité de f la suite (f(g(xn))) converge donc vers f(g(c)). Comme c est quelconque
nous montrons ainsi que la fonction f ◦ g est continue sur son domaine de définition D. Exemple 4. Soit la fonction ta sin(x)/ cos(x) définie et continue pour tout x cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions en pdf | COurs mathématique | COurs sience cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions en pdf | COurs mathématique | COurs sience
n’annulant pas cos(x) c’est à dire pour x 6= n + π cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions en pdf | COurs mathématique | COurs sience
2 avec n entier relatif. Soit maintenant l’égalité S = S si et seulement si S est un ensemble fermé (cf §3 pour la définition). Par cours mathématiques ,   Fonctions continues et limites de fonctions en pdf | COurs mathématique | COurs sience
exemple si S =]0, 1] on peut montrer que c = 0 appartient à S et que c’est le seul point
n’appartenant pas à S dans ce cas. Comme tout point de S appartient à son adhérence on a
donc S = [0, 1]. Si maintenant S est l’intervalle fermé [0, 1], on montre facilement qu’aucun
point extérieur à S n’appartient à son adhérence ; on a donc ici l’égalité ensembliste S = S
et l’intervalle fermé [0, 1] est un ensemble fermé de R.
la fonction logarithme népérien ln(x) qui est définie et continue pour x > 0. Considérons
la fonction composée tan(ln(x)) ; il est clair que, pour une telle fonction, nous devons
éviter les x > 0 tels que ln(x) = (2n + 1)/2 avec n entier, c’est à dire les x de la forme
eπ(2n+1)/2, n ∈ N. En effet pour ces x nous avons cos(ln(x)) = 0 et la fonction tangente
n’est pas définie. Le domaine de définition D de la fonction tan(ln(x)) s’écrit donc

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